Funktionsterm bestimmen - Waldschlösschenbrücke Dresden

Die Waldschlösschenbrücke findet auf jeden Fall Zustimmung, wenn sie als mathematisches Objekt betrachtet wird. Es ist nun länger kein Geheimnis mehr: Die Brückenbögen verhalten sich wie eine Parabel, folgen damit einer quadratischen Funktionsgleichung f(x) = ax²+bx+c. Das lässt sich auch mit GeoGebra verifizieren.
Wir wollen für diese Gleichung die konkreten Koeffizienten a, b und c herausfinden, damit wir die Brücke näher untersuchen können.
Aus den technischen Daten geht hervor:
a) Bogenspannweite wB = 145 m
b) größte Höhe des Bogens über Fahrbahn hB = 9,7 m
c) Höhe der Fahrbahn über Wasser hF = 14 m

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Aufgaben

1. Graphischer Teil
Im Arbeitsblatt ist die Brücke maßstabsgerecht so im Koordinatensystem angeordnet, dass der Hochpunkt des Brückenbogens auf der y-Achse liegt und der Elbpegel auf der x-Achse. Überlege, wie der Hochpunkt ermittelt werden kann, wenn die Funktionsgleichung vorliegt.

a) Überzeuge dich davon, dass der Brückenbogen einer quadratischen Funktion folgt und blende den Graphen der Funktion ein. Der (rote) Punkt T ist auf dem Graphen von f(x) beweglich. Diese quadratische Funktion wurde mit dem Verfahren der mathematischen Regression mittels der GeoGebra-Funktion zur Ermittlung polynomialer Trendfunktionen n-ten Grades f(x)=TrendPoly[f,n] aus einer Liste von gegebenen Punkten bestimmt.

b) Blende die Punkte ein. Diese (blauen) Punkte sind frei verschieblich. Aus den Koordinaten dieser Punkte berechnet TrendPoly[f,2] eine Funktion 2-ten Grades mit der besten Annäherung an diese Punkte.
Ein Reset des Arbeitsblattes kann immer mit dem Symbol rechts oben erfolgen.

c) Blende die Fahrbahn ein. Du siehst, dass sie einer Geraden g(x) genügt und mit den Brückenbögen Schnittpunkte bildet.

d) Blende die Bogenspannweite wB ein. Gibt es einen Zusammenhang zu den Nullstellen der Funktion f(x)?

e) Blende die Höhe des Bogens über der Fahrbahn und die Höhe der Fahrbahn über dem Wasser ein. Was haben diese Höhen mit dem Hochpunkt gemeinsam?

f) Blende die Tangente t(x) im Punkt T an f(x) ein. Mit ihr kannst du deren Steigung und die Steigungswinkel ermitteln.

g) Die Graphen der Funktionen f(x) und g(x) bilden Schnittpunkte S1 und S2. Blende diese ein. Wie können diese ermittelt werden?

2. Mathematischer Teil
Gegeben sind die 3 Größen wB, hB und hF der Brücke. Aus diesen Größen wollen wir allgemeine Berechnungsformeln für die Berechnung von a, b und c, als auch für die Schnittpunkte S1 und S2 der beiden Graphen und den Winkeln von Bogen und Fahrbahn in diesen Schnittpunkten aufstellen.

a) Ermittle für die Funktionsgleichung f(x) = ax²+bx+c die erste Ableitung f'(x).

b) Welche notwendigen und hinreichenden Bedingungen gelten für den Hochpunkt? Ermittle aus der Tatsache, dass der Hochpunkt auf der y-Achse liegt, den Wert für b.

c) Aus der Lage des Hochpunktes H(0, hF + hB) lässt sich auch der Wert für c gewinnen. Wie geht das?

d) Da nun b und c berechenbar sind, sollte nun die Berechnung von a möglich sein. Überlege, wie dies mit der Bogenspannweite wB möglich ist. Stelle die Berechnungsformel für a auf.

e) Die Koeffizienten a, b und c von f(x) sind jetzt bekannt und damit die Funktionsgleichung f(x). Gemeinsam mit der Funktionsgleichung g(x) lassen sich die Schnittpunkte S1 und S2 der beiden Graphen bestimmen. Welche Bedingung gilt hierfür? Welche allgemeine Berechnungsformel erhältst du für die Stellen, an denen die Schnittpunkte auftreten?

f) Bestimme nun, welche Steigung bzw. welcher Winkel an diesen Schnittpunkten vorliegt.

g) Stelle die Gleichung für die Tangente im Punkt T(xT, yT) auf.

3. Rechnerischer Teil
Nehme mit den gegebenen technischen Daten
Bogenspannweite wB = 145 m
größte Höhe des Bogens über Fahrbahn hB = 9,7 m
Höhe der Fahrbahn über Wasser hF = 14 m
die konkreten Berechnungen vor und überprüfe deine Berechnungen mit dem Arbeitsblatt, in dem du die Größen maßstabsgerecht umrechnest.

(c) Heinz Lindner, März 2010, Analysis-Seite, Erstellt mit GeoGebra