Grafici di curve polari

Simulazione di grafici polari in GeoGebra

"In matematica, il sistema di coordinate polari è un sistema di coordinate bidimensionale nel quale ogni punto del piano è identificato da un angolo e da una distanza  da un punto fisso detto polo." Wikipedia

GeoGebra ci consente di tracciare grafici in coordinate cartesiane: un punto A è definito dall'ascissa (x) e dall'ordinata (y): A = (6, -8)

È inoltre possibile tracciare grafici in coordinate polari, assegnando la coordinata radiale e quella angolare, ad esempio un punto distante 4 unità dal polo a 45° si scrive nella forma: B = (4; 45°). Il punto e virgola indica che il punto è in coordinate polari.

Al momento GeoGebra non dispone della possibilità di tracciare direttamente i grafici di equazioni che non siano in forma cartesiana, ma è possibile simulare i grafici polari utilizzando i grafici di funzioni parametriche, supportati da GeoGebra. Le equazioni in forma polare  possono essere riscritte in forma parametrica abbastanza agilmente, utilizzando x = r cos(theta) e  y = r sin(theta). L'espressione relativa ad r sarà quindi sostituita nel comando Curva, in modo da ottenere i grafici di equazioni in forma polare.

Una griglia polare consiste in una successione di circonferenze concentriche, divise radialmente da rette aventi pendenze generalmente con incrementi di 5°, 10° o 15°. Con un clic su File -> Nuovo nella barra dei menu, il foglio di lavoro ritorna vuoto.

GeoGebra dispone di tre comandi utili per la creazione della griglia polare.

Circonferenza[PuntoM, Raggio r], Retta[Punto, Vettore direzione v] e Successione[Espressione, Variabile i, Numero a, Numero b, <Incremento>]

Per tracciare una circonferenza di centro(4,5)  e raggio = 3 digitare nella barra di inserimento: Circonferenza[(4, 5), 3] {Esercitatevi con questo e altri comandi prima di procedere.}

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Per tracciare una retta passante per il punto (4, 5) e avente il vettore direzione di 4x + 5y = 12, cioè (5, -4), digitare Retta[(4, 5),(5, -4)] nella barra di inserimento. "Una retta di equazione ax + by = c ha vettore direzione (b, -a)."{Esercitatevi con questo e altri comandi prima di procedere.}

File -> Nuovo

Per tracciare una retta passante per l'origine e pendenza di 15° digitare: Retta[(0, 0), (cos(15°), sin(15°))]

File -> Nuovo

L'ultimo comando importante è Successione. Questo comando consente il tracciamento di copie incrementali di un'espressione. Per creare una semplice famiglia di parabole digitare: Successione[a x2, a, -2, 2]. La successione ha un incremento automatico di 1, ma è possibile modificare l'incremento digitando ad esempio: Successione[a x2, a, -2, 2, 0.5]

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Il seguente comando crea 40 circonferenze concentriche centrate nell'origine con incrementi di 1/2 unità:

CircPolari = Successione[Circonferenza[(0, 0), k / 2], k, 1, 20]

Il seguente comando crea una serie di rette radiali da 0 a 175° con incrementi di 15° :

RetteRadiali = Successione[Retta[(0, 0), (cos(a), sin(a))], a, 0, 175°, 15°]

Il comando Curva consente la creazione e il tracciamento di grafici polari. Curva[Espressione e1, Espressione e2, Parametro t, Numero a, Numero b]: traccia la curva parametrica avente l'espressione cartesiana e1 per la x,  e2 per la y (utilizzando il parametro t) nell'intervallo assegnato [a, b].

r(x) = 1 {nascondere: questa funzione consente l'inserimento di equazioni polari}
Curva[r(i) cos(i), r(i) sin(i), i, 0, 2 pi] {traccia una circonferenza di raggio unitario}

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  Ora è possibile inserire funzioni polari in termini di x utilizzando r(x), e i valori desiderati per a, b e c.
Cardioidi r(x) = a (1 - cos(x)), variare a con uno slider

Rodonee r(x) = a cos(b x), variare a,b con gli slider
Rodonee r(x) = a sin(b x), variare a,b con gli slider
Curve "tipo rodonee"
r(x) = c + a * sin(b * x), variare a,b,c con gli slider
Lemniscate r(x) = sqrt(a2 cos(2 x)), variare a con uno slider
Chiocciole di Pascal
r(x) = a cos(x), variare a con uno slider
Spirali equiangolari
r(x) = e^(a x), variare a con uno slider
Spirale di Archimede r(x) = a x, variare a con uno slider
Lituus r(x) = sqrt(a2 / x), variare a con uno slider
Cocleoidi r(x) = a * sin(x) / x, variare a con uno slider
Coniche r(x) = k * e /(1 - e * cos(x)), variare k, e con gli slider
Circonferenze, ellissi, parabole ed iperboli.

 

Questa costruzione didattica è dedicata a studenti e insegnanti, per imparare a utilizzare il comando Curva per tracciare i grafici polari.

A. B. Cron, - file originale qui (versione italiana di Simona Riva), creato con GeoGebra